DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS.

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Distribución normal

Distribución normal
La línea verde corresponde a la distribución normal estándar Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} \,\!}$ ${\displaystyle \sigma >0\,\!}$
Dominio	${\displaystyle x\in \mathbb {R} \,\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$
Media	${\displaystyle \mu \,\!}$
Mediana	${\displaystyle \mu \,\!}$
Moda	${\displaystyle \mu \,\!}$
Varianza	${\displaystyle \sigma ^{2}\,\!}$
Coeficiente de simetría	0
Curtosis	0
Entropía	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\,\!}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle M_{X}(t)=e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}\,\!}$
Función característica	${\displaystyle \chi _{X}(t)=e^{\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}\,\!}$

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidadde variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.^{[cita requerida]}

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinadoparámetro estadístico. Esta curva se conoce comocampana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

• caracteres morfológicos de individuos como laestatura;
• caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
• caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
• caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
• nivel de ruido en telecomunicaciones;
• errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
• etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, ladistribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.¹Además, la distribución normal maximiza la entropíaentre todas las distribuciones con media y varianzaconocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una "normalidad" más o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

DISTRIBUCIÓN NORMAL A BINOMIAL 

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,

                                  

Donde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros

m = np = media de la distribución Binomial

s =  = desviación estándar de la distribución Binomial

Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.

En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de npy nq. Sí ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.

Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución  que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,

Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

¿Porqué vamos a sumar o a restar ½ a x?

Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la unidad, ese es el porqué del ± ½.

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