DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS.

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES CONTINUAS

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Distribución normal

Distribución normal
La línea verde corresponde a la distribución normal estándar Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} \,\!}$ ${\displaystyle \sigma >0\,\!}$
Dominio	${\displaystyle x\in \mathbb {R} \,\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$
Media	${\displaystyle \mu \,\!}$
Mediana	${\displaystyle \mu \,\!}$
Moda	${\displaystyle \mu \,\!}$
Varianza	${\displaystyle \sigma ^{2}\,\!}$
Coeficiente de simetría	0
Curtosis	0
Entropía	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\,\!}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle M_{X}(t)=e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}\,\!}$
Función característica	${\displaystyle \chi _{X}(t)=e^{\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}\,\!}$

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidadde variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.^{[cita requerida]}

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinadoparámetro estadístico. Esta curva se conoce comocampana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

• caracteres morfológicos de individuos como laestatura;
• caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
• caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
• caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
• nivel de ruido en telecomunicaciones;
• errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
• etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, ladistribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.¹Además, la distribución normal maximiza la entropíaentre todas las distribuciones con media y varianzaconocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una "normalidad" más o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

DISTRIBUCIÓN NORMAL A BINOMIAL 

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,

                                  

Donde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros

m = np = media de la distribución Binomial

s =  = desviación estándar de la distribución Binomial

Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.

En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de npy nq. Sí ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.

Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución  que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,

Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

¿Porqué vamos a sumar o a restar ½ a x?

Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la unidad, ese es el porqué del ± ½.

$$

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La probabilidad es un evento o suceso que puede ser improbable, probable o seguro.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q

Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes.

P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes.

Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos objetos son seleccionados sin reemplazo (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos?

Solución:

Sea los eventos

A1 = {primer objeto defectuoso}, A2 {segundo objeto defectuoso}

entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:

P (A1) = 20/100 ; P (A2/A1) = 19/99

así probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos es

P (A1 ∩ A2) = P (A1) P (A2/A1)
            (20/100)(19/99)
             19/495 = 0.038

Ahora suponga que selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres objetos seleccionados sean defectuosos es

P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩A2)
                  (20/100)(19/99)(18/98)
                  19/2695 = 0.007

Regla de Laplace

La Regla de Laplace establece que:

• La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
• La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.

Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.

• La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:

P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles

Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.

Distribución binomial

La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.

1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
3. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.

Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).
Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:
P (x = m) = (nCm)(P^m)(1−P)^n−m
Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.
En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](p^m)(1−p)^n−m

Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Cálculo de Probabilidades es de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 de ellos?
P(x = 10) = 15C10(0,15)¹⁰(0,85)⁵ = 15!/(10!(15−10)!)(0,15)¹⁰(0,85)⁵ = 7,68 * 10⁻⁶ Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1)
P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n)
P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m)
P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n)
Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben:
a.− al menos 5
b.− más de 12
a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es:
P(x ≥ 5) es decir, que:
1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] =
1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618
Nota: Al menos, a lo menos y por lo menos son locuciones adverbiales sinónimas.

Ejemplo: La entrada al cine por lo menos tendrá un costo de 10 soles (como mínimo podría costar 10 soles o más).
b.− la probabilidad de que aprueben más de 12 es P(x > 12) es decir, que:
P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)
P(x > 12) = 1,47 *10⁻⁹ +3,722 *10⁻¹¹ +4,38 *10⁻¹³ = 1,507 *10⁻⁹
La esperanza matemática en una distribución binomial puede expresarse como:
E(x) = np = 15(0,15)=2,25
Y la varianza del número esperado de éxitos se puede calcular directamente:
Var(x) = np(1−p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125 Estadísticas y probabilidades, con sus diferentes diagramaciones como: diagrama de barras. diagrama de línea. y diagrama de círculos que se aplican de acuerdo al tipo de estadísticas y probabilidades matemáticas.

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

	"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
	"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

	Si el orden no importa, es una combinación.
	Si el orden sí importa es una permutación.

¡Así que lo de arriba se podría llamar "cerradura de permutación"!

Con otras palabras:

Una permutación es una combinación ordenada.

Para ayudarte a recordar, piensa en "Permutación... Posición"

Permutaciones

Hay dos tipos de permutaciones:

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = n^r

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 10³ = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repetición

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

	La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1
Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ...		= 16 × 15 × 14 = 3360
13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 3360
(16-3)!		13!		6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!	=	10!	=	3,628,800	= 90
(10-2)!		8!		40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

• imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
• después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa	El orden no importa
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1	1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16!	=	16!	=	20,922,789,888,000	= 560
3!(16-3)!		3!×13!		6×6,227,020,800

O lo puedes hacer así:

16×15×14	=	3360	= 560
3×2×1		6

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"

... o mejor todavía...

¡Recuerda la fórmula!

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.

16!	=	16!	=	16!	= 560
3!(16-3)!		13!(16-13)!		3!×13!

Triángulo de Pascal

Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:

1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

1. Combinaciones con repetición

OK, ahora vamos con este...

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay? Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son {c, c, c} (3 de chocolate) {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla) {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.
El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)

Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.

	Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!
	Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.

Ahora puedes escribirlo como  (la flecha es saltar, el círculo es tomar)

Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:

{c, c, c} (3 de chocolate):
{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):
{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"

Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).

Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.

Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden no importa)

Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...

¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?

(5+3-1)!	=	7!	=	5040	= 35
3!(5-1)!		3!×4!		6×24

TEORÍA DE

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Ejemplos.

• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

• El espacio tridimensional E₃ es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E₃. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E₃, r ⊆ E₃ y α ⊆ E₃.

Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen aB.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados(a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

EJERCICIO.

1.- Sean A ={1,2,3,4};          B ={2,4,6,8};          C ={3,4,5,6}

Hallar a).- A U B; b).- A U C; c).- B U C; d).- B U B

Solución:

A U B = {1,2,3,4,6,8}

A U C = {1,2,3,4,5,6}

B U C = {2,4,6,3,5}

B U B = {2,4,6,8}