PROBABILIDAD
La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La probabilidad es un evento o suceso que puede ser improbable, probable o seguro.
La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.
Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.
La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q
Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.
Regla de la adición
La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.
P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.
Regla de la multiplicación
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.
P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B) si A y B son independientes.
P (A y B) = P (A B) = P (A) P (B|A) si A y B son dependientes.
Un lote contiene "100" objetos de los cuales "20" son defectuosos. Los objetos son seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos objetos son seleccionados sin reemplazo (significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos?
Solución:
Sea los eventos
A1 = {primer objeto defectuoso}, A2 {segundo objeto defectuoso}
entonces dos objetos seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el evento A1∩ A2 que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la información dada se tiene que:
P (A1) = 20/100 ; P (A2/A1) = 19/99
así probabilidad de que los dos objetos seleccionados sean defectuosos es
P (A1 ∩ A2) = P (A1) P (A2/A1)
(20/100)(19/99)
19/495 = 0.038
Ahora suponga que selecciona un tercer objeto, entonces la probabilidad de que los tres objetos seleccionados sean defectuosos es
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1) P (A2/A1) P (A3/A1∩A2)
(20/100)(19/99)(18/98)
19/2695 = 0.007
Regla de Laplace
La Regla de Laplace establece que:
- La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
- La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.
Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad.
- La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:
P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles
Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.
Distribución binomial
La probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluyentes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no.
- Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.
- La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.
- La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.
Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).
Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:
P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m
Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.
En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m
Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:
P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m
Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.
En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m
Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Cálculo de Probabilidades es de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 de ellos?
P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 15!/(10!(15−10)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10−6 Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1)
P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n)
P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m)
P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n)
Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben:
a.− al menos 5
b.− más de 12
a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es:
P(x ≥ 5) es decir, que:
1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] =
1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618
Nota: Al menos, a lo menos y por lo menos son locuciones adverbiales sinónimas.
P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 15!/(10!(15−10)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10−6 Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1)
P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n)
P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m)
P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n)
Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben:
a.− al menos 5
b.− más de 12
a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es:
P(x ≥ 5) es decir, que:
1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] =
1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618
Nota: Al menos, a lo menos y por lo menos son locuciones adverbiales sinónimas.
Ejemplo: La entrada al cine por lo menos tendrá un costo de 10 soles (como mínimo podría costar 10 soles o más).
b.− la probabilidad de que aprueben más de 12 es P(x > 12) es decir, que:
P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)
P(x > 12) = 1,47 *10−9 +3,722 *10−11 +4,38 *10−13 = 1,507 *10−9
La esperanza matemática en una distribución binomial puede expresarse como:
E(x) = np = 15(0,15)=2,25
Y la varianza del número esperado de éxitos se puede calcular directamente:
Var(x) = np(1−p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125 Estadísticas y probabilidades, con sus diferentes diagramaciones como: diagrama de barras. diagrama de línea. y diagrama de círculos que se aplican de acuerdo al tipo de estadísticas y probabilidades matemáticas.
b.− la probabilidad de que aprueben más de 12 es P(x > 12) es decir, que:
P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)
P(x > 12) = 1,47 *10−9 +3,722 *10−11 +4,38 *10−13 = 1,507 *10−9
La esperanza matemática en una distribución binomial puede expresarse como:
E(x) = np = 15(0,15)=2,25
Y la varianza del número esperado de éxitos se puede calcular directamente:
Var(x) = np(1−p)= 15(0,15)(1-0,15)=1,9125 Estadísticas y probabilidades, con sus diferentes diagramaciones como: diagrama de barras. diagrama de línea. y diagrama de círculos que se aplican de acuerdo al tipo de estadísticas y probabilidades matemáticas.
(la flecha es saltar, el círculo es tomar)
